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回答二進制所出的 Probability 問題
Khinchin


原本我不想解答，因為實在 reading 是要自己去做，特別是 preliminary.....
因為水準不夠就不夠，不如打好個底還好....

Reference:
http://hkgalden.com/view/260638
http://hkgalden.com/view/264406

不過，都見到 二進制 你有盡過力，我在下一個回覆中打我的 suggested solutions....

1. Let `X thicksim N(mu, psi^2)` and `K` be a constant. Calculate

(a) `E(I{X>K})` where `I` is the indicator function.

(b) `E("max"{K-X,0})`.

Hint Use `(K-X) = (K-mu) - (X-mu)`.

(c) `E(e^{tx})`.

Leave answers where appropriate in terms of the normal cumulative distribution function
`Phi(·)`.

Remark: 這條問題的 `Phi(cdot)` 不是太清楚，我將會當作是 standard Gaussian (0,1)的 cdf....
Good 19Bad 1
15/07/15 12:01 PM
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本貼文共有 47 個回覆
三隻鼠王菊


#lol#
#115/07/15 12:12 PM
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inkling


根本看不懂#adore#
#215/07/15 12:15 PM
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兔叔


根本看不懂#adore#

#315/07/15 12:17 PM
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Khinchin


(a) `bbb(E) [ I( X > K) ] = bbb(P) ( X > K ) = 1 - bbb (P) ( Z le (K - mu)/psi ) = 1 - Phi((K - mu)/psi )`

(b) `bbb(E) [ max( K-X, 0) ] = bbb(E) [ (K-X)^+ ] = int_{ (- oo, K] } ( K - x ) bbb(N)(dx)`
` = int_{ (-oo, K] } ( K - mu ) bbb(N)( dx ) - int_{ (-oo, K] } ( x - mu ) bbb(N)( dx )`
` = (K - mu ) Phi ( (K - mu)/psi ) - int_{ (-oo, (K - mu)/psi ] } psi*x*Phi( dx )`
` = (K - mu) Phi ( (K - mu)/psi ) + psi int_{ ( -oo, (K - mu)/psi] } d( 1/sqrt(2pi)e^(-x^2/2) )`
` = (K - mu) Phi ( (K - mu)/psi ) + psi/sqrt(2pi)exp (-1/2*((K - mu)/psi)^2)`

(c) `bbb(E)[ e^(tx) ] = int_{RR} e^(t*x) bbb(N)(dx)`
` = int_{ RR } 1/sqrt(2 pi psi^2) exp( - ( (x- mu)^2 - 2 psi^2 t x )/(2 psi^2 ) ) dx`
` = exp ( mu t + 1/2 psi^2 t^2 ) * int_{RR} 1/sqrt(2 pi psi^2) exp( - (( x - (mu + t psi^2))^2 )/(2 psi^2 ) ) dx`
` = exp ( mu t + 1/2 psi^2 t^2 ) `
#415/07/15 12:38 PM
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嘴饞銀Husky


摩氏密碼黎架?
#515/07/15 12:57 PM
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海綿寶寶


屌你勁撚到, 無論係改板規呢啲戇尻野, 定係數量呢啲認真野都難唔到你#adore#
#615/07/15 12:58 PM
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二進制


(a) `bbb(E) [ I( X > K) ] = bbb(P) ( X > K ) = 1 - bbb (P) ( Z le (K - mu)/psi ) = 1 - Phi((K - mu)/psi )`

(b) `bbb(E) [ max( K-X, 0) ] = bbb(E) [ (K-X)^+ ] = int_{ (- oo, K] } ( K - x ) bbb(N)(dx)`
` = int_{ (-oo, K] } ( K - mu ) bbb(N)( dx ) - int_{ (-oo, K] } ( x - mu ) bbb(N)( dx )`
` = (K - mu ) Phi ( (K - mu)/psi ) - int_{ (-oo, (K - mu)/psi ] } psi*x*Phi( dx )`
` = (K - mu) Phi ( (K - mu)/psi ) + psi int_{ ( -oo, (K - mu)/psi] } d( 1/sqrt(2pi)e^(-x^2/2) )`
` = (K - mu) Phi ( (K - mu)/psi ) + psi/sqrt(2pi)exp (-1/2*((K - mu)/psi)^2)`

(c) `bbb(E)[ e^(tx) ] = int_{RR} e^(t*x) bbb(N)(dx)`
` = int_{ RR } 1/sqrt(2 pi psi^2) exp( - ( (x- mu)^2 - 2 psi^2 t x )/(2 psi^2 ) ) dx`
` = exp ( mu t + 1/2 psi^2 t^2 ) * int_{RR} 1/sqrt(2 pi psi^2) exp( - (( x - (mu + t psi^2))^2 )/(2 psi^2 ) ) dx`
` = exp ( mu t + 1/2 psi^2 t^2 ) `

thx 其實我睇完書已經識做a同c #adore#
btw
`bbb(N)(dx)`係代表咩？
#715/07/15 1:21 PM
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Khinchin


(a) `bbb(E) [ I( X > K) ] = bbb(P) ( X > K ) = 1 - bbb (P) ( Z le (K - mu)/psi ) = 1 - Phi((K - mu)/psi )`

(b) `bbb(E) [ max( K-X, 0) ] = bbb(E) [ (K-X)^+ ] = int_{ (- oo, K] } ( K - x ) bbb(N)(dx)`
` = int_{ (-oo, K] } ( K - mu ) bbb(N)( dx ) - int_{ (-oo, K] } ( x - mu ) bbb(N)( dx )`
` = (K - mu ) Phi ( (K - mu)/psi ) - int_{ (-oo, (K - mu)/psi ] } psi*x*Phi( dx )`
` = (K - mu) Phi ( (K - mu)/psi ) + psi int_{ ( -oo, (K - mu)/psi] } d( 1/sqrt(2pi)e^(-x^2/2) )`
` = (K - mu) Phi ( (K - mu)/psi ) + psi/sqrt(2pi)exp (-1/2*((K - mu)/psi)^2)`

(c) `bbb(E)[ e^(tx) ] = int_{RR} e^(t*x) bbb(N)(dx)`
` = int_{ RR } 1/sqrt(2 pi psi^2) exp( - ( (x- mu)^2 - 2 psi^2 t x )/(2 psi^2 ) ) dx`
` = exp ( mu t + 1/2 psi^2 t^2 ) * int_{RR} 1/sqrt(2 pi psi^2) exp( - (( x - (mu + t psi^2))^2 )/(2 psi^2 ) ) dx`
` = exp ( mu t + 1/2 psi^2 t^2 ) `

thx 其實我睇完書已經識做a同c #adore#
btw
`bbb(N)(dx)`係代表咩？

Gaussian measure with parameters `(mu, psi)`, 我比較懶而用 Lebesgue integration....
我將整個 Real field 當作 Gaussian measure 作量度，事實上是 normal distribution 同無分別...
#815/07/15 1:38 PM
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二進制


(a) `bbb(E) [ I( X > K) ] = bbb(P) ( X > K ) = 1 - bbb (P) ( Z le (K - mu)/psi ) = 1 - Phi((K - mu)/psi )`

(b) `bbb(E) [ max( K-X, 0) ] = bbb(E) [ (K-X)^+ ] = int_{ (- oo, K] } ( K - x ) bbb(N)(dx)`
` = int_{ (-oo, K] } ( K - mu ) bbb(N)( dx ) - int_{ (-oo, K] } ( x - mu ) bbb(N)( dx )`
` = (K - mu ) Phi ( (K - mu)/psi ) - int_{ (-oo, (K - mu)/psi ] } psi*x*Phi( dx )`
` = (K - mu) Phi ( (K - mu)/psi ) + psi int_{ ( -oo, (K - mu)/psi] } d( 1/sqrt(2pi)e^(-x^2/2) )`
` = (K - mu) Phi ( (K - mu)/psi ) + psi/sqrt(2pi)exp (-1/2*((K - mu)/psi)^2)`

(c) `bbb(E)[ e^(tx) ] = int_{RR} e^(t*x) bbb(N)(dx)`
` = int_{ RR } 1/sqrt(2 pi psi^2) exp( - ( (x- mu)^2 - 2 psi^2 t x )/(2 psi^2 ) ) dx`
` = exp ( mu t + 1/2 psi^2 t^2 ) * int_{RR} 1/sqrt(2 pi psi^2) exp( - (( x - (mu + t psi^2))^2 )/(2 psi^2 ) ) dx`
` = exp ( mu t + 1/2 psi^2 t^2 ) `

thx 其實我睇完書已經識做a同c #adore#
btw
`bbb(N)(dx)`係代表咩？

Gaussian measure with parameters `(mu, psi)`, 我比較懶而用 Lebesgue integration....
我將整個 Real field 當作 Gaussian measure 作量度，事實上是 normal distribution 同無分別...

有冇簡單啲嘅方法解呢題？:O
#915/07/15 1:40 PM
引用快速引用
Khinchin


(a) `bbb(E) [ I( X > K) ] = bbb(P) ( X > K ) = 1 - bbb (P) ( Z le (K - mu)/psi ) = 1 - Phi((K - mu)/psi )`

(b) `bbb(E) [ max( K-X, 0) ] = bbb(E) [ (K-X)^+ ] = int_{ (- oo, K] } ( K - x ) bbb(N)(dx)`
` = int_{ (-oo, K] } ( K - mu ) bbb(N)( dx ) - int_{ (-oo, K] } ( x - mu ) bbb(N)( dx )`
` = (K - mu ) Phi ( (K - mu)/psi ) - int_{ (-oo, (K - mu)/psi ] } psi*x*Phi( dx )`
` = (K - mu) Phi ( (K - mu)/psi ) + psi int_{ ( -oo, (K - mu)/psi] } d( 1/sqrt(2pi)e^(-x^2/2) )`
` = (K - mu) Phi ( (K - mu)/psi ) + psi/sqrt(2pi)exp (-1/2*((K - mu)/psi)^2)`

(c) `bbb(E)[ e^(tx) ] = int_{RR} e^(t*x) bbb(N)(dx)`
` = int_{ RR } 1/sqrt(2 pi psi^2) exp( - ( (x- mu)^2 - 2 psi^2 t x )/(2 psi^2 ) ) dx`
` = exp ( mu t + 1/2 psi^2 t^2 ) * int_{RR} 1/sqrt(2 pi psi^2) exp( - (( x - (mu + t psi^2))^2 )/(2 psi^2 ) ) dx`
` = exp ( mu t + 1/2 psi^2 t^2 ) `

thx 其實我睇完書已經識做a同c #adore#
btw
`bbb(N)(dx)`係代表咩？

Gaussian measure with parameters `(mu, psi)`, 我比較懶而用 Lebesgue integration....
我將整個 Real field 當作 Gaussian measure 作量度，事實上是 normal distribution 同無分別...

有冇簡單啲嘅方法解呢題？:O


因為Gaussian distribution 是 L-2 function以及absolutely continuous with respect to Lebesgue measure, 你可以將 `bbb(N) (dx)` 寫成 `1/sqrt(2 pi psi^2) exp( - ( (x- mu)^2 )/(2 psi^2 ) ) dx`

Lebesgue-Stieltjes Integral, Riemann integral 或是 Riemann - Stieltjes integral 答案在這個 case 是無分別....
只不過寫法不同。
#1015/07/15 1:47 PM
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Axis


屌你勁撚到, 無論係改板規呢啲戇尻野, 定係數量呢啲認真野都難唔到你#adore#

#adore#
#1115/07/15 2:20 PM
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Twilight


上面噏乜鳩
#1215/07/15 2:22 PM
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喪隊Dama


andriod無嗰個plugin完全睇唔明
#1315/07/15 2:25 PM
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脆辣雞尾包


屌你勁撚到, 無論係改板規呢啲戇尻野, 定係數量呢啲認真野都難唔到你#adore#

#adore#

#adore#
#1415/07/15 2:26 PM
引用快速引用
Galed


共產黨殺到嚟自...
#1515/07/15 2:58 PM
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灰姑娘


仆街 睇唔撚明[sosad]
#1615/07/15 3:00 PM
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叮叮叮



應該係神仙既密碼黎！
#1715/07/15 3:00 PM
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叮叮叮


其實唔知係咩黎 [sosad]
#1815/07/15 3:01 PM
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歸西鈦白粉


唔明 :-(
#1915/07/15 3:17 PM
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☯☯☯☯☯☯☯☯☯☯


一鍵留名
#2015/07/15 3:43 PM
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☯☯☯☯☯☯☯☯☯☯


一鍵留名
#2115/07/15 3:43 PM
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二進制


(a) `bbb(E) [ I( X > K) ] = bbb(P) ( X > K ) = 1 - bbb (P) ( Z le (K - mu)/psi ) = 1 - Phi((K - mu)/psi )`

(b) `bbb(E) [ max( K-X, 0) ] = bbb(E) [ (K-X)^+ ] = int_{ (- oo, K] } ( K - x ) bbb(N)(dx)`
` = int_{ (-oo, K] } ( K - mu ) bbb(N)( dx ) - int_{ (-oo, K] } ( x - mu ) bbb(N)( dx )`
` = (K - mu ) Phi ( (K - mu)/psi ) - int_{ (-oo, (K - mu)/psi ] } psi*x*Phi( dx )`
` = (K - mu) Phi ( (K - mu)/psi ) + psi int_{ ( -oo, (K - mu)/psi] } d( 1/sqrt(2pi)e^(-x^2/2) )`
` = (K - mu) Phi ( (K - mu)/psi ) + psi/sqrt(2pi)exp (-1/2*((K - mu)/psi)^2)`

(c) `bbb(E)[ e^(tx) ] = int_{RR} e^(t*x) bbb(N)(dx)`
` = int_{ RR } 1/sqrt(2 pi psi^2) exp( - ( (x- mu)^2 - 2 psi^2 t x )/(2 psi^2 ) ) dx`
` = exp ( mu t + 1/2 psi^2 t^2 ) * int_{RR} 1/sqrt(2 pi psi^2) exp( - (( x - (mu + t psi^2))^2 )/(2 psi^2 ) ) dx`
` = exp ( mu t + 1/2 psi^2 t^2 ) `

thx 其實我睇完書已經識做a同c #adore#
btw
`bbb(N)(dx)`係代表咩？

Gaussian measure with parameters `(mu, psi)`, 我比較懶而用 Lebesgue integration....
我將整個 Real field 當作 Gaussian measure 作量度，事實上是 normal distribution 同無分別...

有冇簡單啲嘅方法解呢題？:O


因為Gaussian distribution 是 L-2 function以及absolutely continuous with respect to Lebesgue measure, 你可以將 `bbb(N) (dx)` 寫成 `1/sqrt(2 pi psi^2) exp( - ( (x- mu)^2 )/(2 psi^2 ) ) dx`

Lebesgue-Stieltjes Integral, Riemann integral 或是 Riemann - Stieltjes integral 答案在這個 case 是無分別....
只不過寫法不同。


好似明明地，thx#good# #good#
#2216/07/15 12:17 AM
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捉人深處強姦


我知道啦 密碼係聽日食飯我埋單
多謝哂
#2316/07/15 12:20 AM
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P!NK


#adore# #adore# #adore#
小學到中二數學未試過合格
#2416/07/15 12:30 AM
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機械嘅嘢...


真心好鍾意probit #adore# [bomb]

但係中五雞完全睇唔明 [sosad]
大學讀硬數 [bomb]
#2516/07/15 12:40 AM
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