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「2^77,232,917 – 1」，一個長達 719 頁的超級質數
「2^77,232,917 – 1」，一個長達 719 頁的超級質數[/size=6]
2018年2月9日 by 謝利
開售不到一個月，如今已在日本 Amazon 賣到斷貨。 圖片來源：虹色社 Facebook
奇書年年有，今年特別厚。旗下有著不少經典文學作品的日本虹色社（なないろしゃ），上月隆重呈獻一本離奇暢銷書，名為「2017 年最大的質數（2017 年最大の素数）」，厚達 719 頁，並且超過 2,300 萬字 —— 數字。全書內容只有一組數字：剛剛被發現的第 50 個梅森質數（Mersenne Prime）。
此書的首刷出版日，距離與此數字的誕生之日甚至只隔了兩個星期。非教材向的數學類書籍素來是滯銷毒藥，然而，此書開售不到一個月，如今已在日本 Amazon 賣到斷貨，需要加印應市，蔚為出版界一大美談。
「2017 年最大的質數」書影。 圖片來源：Amazon
當然，梅森質數的最大數值再度刷新，於全球數學界也是重要發現。Mn = 2^n – 1 是著名的梅森數（Mersenne numbers）算式，並以 17 世紀提出此數列的法國數學家馬蘭梅森（Marin Mersenne）為名。在無限量的梅森數列之中，質數的出現機率極低，時至今日，人類只是「掘」出 50 個。而且 n 值愈大，Mn 是質數的機率就愈低。譬如 n 值在 100,000 以內的梅森質數就有 28 個，而 100,000 到 1,000,000 之間，梅森質數卻只有 5 個。
梅森質數之所以受到數學家重視，除了數量極少、尚未有人發現其出現規律，亦因為它是質數中的質數。梅森質數意味著其 n 值必須是質數，如 n 並非質數，該 n 值的 Mn 也不會是質數。但同時，n 值是質數，Mn 並不一定是質數。譬如，n = 7，Mn ＝ 2^7 – 1 ＝ 127（第 4 個梅森數），然而，n = 11，Mn ＝ 2^11 – 1 = 2047，2047 卻可以被 23 和 89 整除，因此就不是梅森質數了，而 11 也是第一個當 n 為質數而 Mn 並非質數的例子。
有如奇蹟般萬中無一（實際上是天文數字中無一）的梅森質數，自古以來就延伸出一個數學猜想，儘管數量少到不能再少，但梅森質數到底會無窮無盡地出現，還是會有一個終值？若當真存在一個數學上的最大質數，它又會有多大？馬蘭梅森生前好友費馬（Pierre de Fermat）的最終猜想在幾百年後畢竟還是得以證實，但有關梅森質數的猜想則至今仍在探索。
最初梅森質數可由傳統的試除法或進階的盧卡斯數列（Lucas sequence）來判定，但位數超過 100 的超級質數，便需要電腦運算。而自從 1996 年由工程師 George Woltman 發起，集結了數學愛好者的 Gimps（全名為 Great Internet Mersenne Prime Search，網際網路梅森質數大搜索）開始進行「大搜索」，成果相當顯著，幾乎每隔一年半載，梅森質數的最大數值就會刷新，而位數值已經由 90 年代的 40 萬一直攀升到 2,300 萬以上。
剛誕生的第 50 個梅森質數，n 值為 77,232,917，即是 M77,232,917，是一個長達 23,249,425 位數的超級質數，其位數「稍大」於第 49 個梅森質數 M74,207,281（但不排除兩個質數之間尚有未發現的梅森質數）。對上一個梅森質數是由梅森數達人 Curtis Cooper 於 2015 至 2016 年間發現，而 Curtis Cooper 也是近年最常發現新梅森質數的美國數學家，從 2005 年至 2016 年總共刷新了 4 次紀錄。不過，新梅森質數的發現者，卻是一名男住在田納西州小城鎮的中年工程師。
當全世界的人都沉迷於掘比特幣，卻有一少撮人仍然專心地掘質數，包括正職是快遞公司財務經理的 Jon Pace。據指，Jon Pace 加入 Gimps 的「搜索隊」已經 14 年，尋找新的梅森質數是多年來的心願，但他並沒有為此添置任何超級電腦，M77,232,917 的出現，意外地來自一台普通的家用電腦，Gimps 的聲明稿中還特意提到，其 CPU 等級只是一般水平的四核心 Intel i5-6600。然而，別人慶祝聖誕佳節，Jon Pace 卻在去年 12 月 26 日透過家中的電腦得到驚人收穫。
「2017 年最大的質數」把字體尺寸壓縮到不能再小，才能「僅厚」719 頁。 圖片來源：虹色社 Facebook
要完整地將位數超過 2,300 萬的 M77,232,917 寫出來，即是超過 2,300 萬字元，由日本虹色社出版的「2017 年最大的質數」，其實已經把字體尺寸壓縮到不能再小，才能「僅厚」719 頁（每頁 400 字的原稿，則超過 58,000 頁）。據 Gimps 形容，以正常格式將 M77,232,917 列印出來，起碼需要 9,000 頁，而這個質數的「總長度」是 118 公里，即使能每秒寫 5 個數字，也需要毫不間斷的 54 天時間才能寫完。
對書商來說，這個天文數字無疑帶來了意外驚喜，虹色社的營業部負責人山口和男表示，從沒想過此書可以售罄。「2017 年最大的質數」不但成為數學界熱話，也儼然是一則出版界的奇聞，不過，這驚人發現替主人公 Jon Pace 帶來的收益卻相對微薄，Gimps 的酬金只有 3,000 美元。原因是位數值仍未夠大，事實上，Gimps 正懸紅 15 萬美元，尋找首個超過一億位數的超級質數。
但當然，對 Jon Pace 來說，最大意義還是他寒窗苦等 14 年，終於得以名留數學史。
原文：
http://www.cup.com.hk/2018/02/09/the-50th-mersenne-prime/
2018年2月9日 by 謝利
開售不到一個月，如今已在日本 Amazon 賣到斷貨。 圖片來源：虹色社 Facebook
奇書年年有，今年特別厚。旗下有著不少經典文學作品的日本虹色社（なないろしゃ），上月隆重呈獻一本離奇暢銷書，名為「2017 年最大的質數（2017 年最大の素数）」，厚達 719 頁，並且超過 2,300 萬字 —— 數字。全書內容只有一組數字：剛剛被發現的第 50 個梅森質數（Mersenne Prime）。
此書的首刷出版日，距離與此數字的誕生之日甚至只隔了兩個星期。非教材向的數學類書籍素來是滯銷毒藥，然而，此書開售不到一個月，如今已在日本 Amazon 賣到斷貨，需要加印應市，蔚為出版界一大美談。
「2017 年最大的質數」書影。 圖片來源：Amazon
當然，梅森質數的最大數值再度刷新，於全球數學界也是重要發現。Mn = 2^n – 1 是著名的梅森數（Mersenne numbers）算式，並以 17 世紀提出此數列的法國數學家馬蘭梅森（Marin Mersenne）為名。在無限量的梅森數列之中，質數的出現機率極低，時至今日，人類只是「掘」出 50 個。而且 n 值愈大，Mn 是質數的機率就愈低。譬如 n 值在 100,000 以內的梅森質數就有 28 個，而 100,000 到 1,000,000 之間，梅森質數卻只有 5 個。
梅森質數之所以受到數學家重視，除了數量極少、尚未有人發現其出現規律，亦因為它是質數中的質數。梅森質數意味著其 n 值必須是質數，如 n 並非質數，該 n 值的 Mn 也不會是質數。但同時，n 值是質數，Mn 並不一定是質數。譬如，n = 7，Mn ＝ 2^7 – 1 ＝ 127（第 4 個梅森數），然而，n = 11，Mn ＝ 2^11 – 1 = 2047，2047 卻可以被 23 和 89 整除，因此就不是梅森質數了，而 11 也是第一個當 n 為質數而 Mn 並非質數的例子。
有如奇蹟般萬中無一（實際上是天文數字中無一）的梅森質數，自古以來就延伸出一個數學猜想，儘管數量少到不能再少，但梅森質數到底會無窮無盡地出現，還是會有一個終值？若當真存在一個數學上的最大質數，它又會有多大？馬蘭梅森生前好友費馬（Pierre de Fermat）的最終猜想在幾百年後畢竟還是得以證實，但有關梅森質數的猜想則至今仍在探索。
最初梅森質數可由傳統的試除法或進階的盧卡斯數列（Lucas sequence）來判定，但位數超過 100 的超級質數，便需要電腦運算。而自從 1996 年由工程師 George Woltman 發起，集結了數學愛好者的 Gimps（全名為 Great Internet Mersenne Prime Search，網際網路梅森質數大搜索）開始進行「大搜索」，成果相當顯著，幾乎每隔一年半載，梅森質數的最大數值就會刷新，而位數值已經由 90 年代的 40 萬一直攀升到 2,300 萬以上。
剛誕生的第 50 個梅森質數，n 值為 77,232,917，即是 M77,232,917，是一個長達 23,249,425 位數的超級質數，其位數「稍大」於第 49 個梅森質數 M74,207,281（但不排除兩個質數之間尚有未發現的梅森質數）。對上一個梅森質數是由梅森數達人 Curtis Cooper 於 2015 至 2016 年間發現，而 Curtis Cooper 也是近年最常發現新梅森質數的美國數學家，從 2005 年至 2016 年總共刷新了 4 次紀錄。不過，新梅森質數的發現者，卻是一名男住在田納西州小城鎮的中年工程師。
當全世界的人都沉迷於掘比特幣，卻有一少撮人仍然專心地掘質數，包括正職是快遞公司財務經理的 Jon Pace。據指，Jon Pace 加入 Gimps 的「搜索隊」已經 14 年，尋找新的梅森質數是多年來的心願，但他並沒有為此添置任何超級電腦，M77,232,917 的出現，意外地來自一台普通的家用電腦，Gimps 的聲明稿中還特意提到，其 CPU 等級只是一般水平的四核心 Intel i5-6600。然而，別人慶祝聖誕佳節，Jon Pace 卻在去年 12 月 26 日透過家中的電腦得到驚人收穫。
「2017 年最大的質數」把字體尺寸壓縮到不能再小，才能「僅厚」719 頁。 圖片來源：虹色社 Facebook
要完整地將位數超過 2,300 萬的 M77,232,917 寫出來，即是超過 2,300 萬字元，由日本虹色社出版的「2017 年最大的質數」，其實已經把字體尺寸壓縮到不能再小，才能「僅厚」719 頁（每頁 400 字的原稿，則超過 58,000 頁）。據 Gimps 形容，以正常格式將 M77,232,917 列印出來，起碼需要 9,000 頁，而這個質數的「總長度」是 118 公里，即使能每秒寫 5 個數字，也需要毫不間斷的 54 天時間才能寫完。
對書商來說，這個天文數字無疑帶來了意外驚喜，虹色社的營業部負責人山口和男表示，從沒想過此書可以售罄。「2017 年最大的質數」不但成為數學界熱話，也儼然是一則出版界的奇聞，不過，這驚人發現替主人公 Jon Pace 帶來的收益卻相對微薄，Gimps 的酬金只有 3,000 美元。原因是位數值仍未夠大，事實上，Gimps 正懸紅 15 萬美元，尋找首個超過一億位數的超級質數。
但當然，對 Jon Pace 來說，最大意義還是他寒窗苦等 14 年，終於得以名留數學史。
原文：
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