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【網上論壇】由擲幣看病例 如何推算武漢疫情 （美國喬治亞南方大學 馮儁熙、公共衞生學院流
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【網上論壇】由擲幣看病例 如何推算武漢疫情 （美國喬治亞南方大學 馮儁熙、公共衞生學院流行病學副教授 徐建萍）
認真透明處理疫情，是《國際衞生條例》對每一個世界衞生組織成員國的要求，更是負責任之大國所當為也。
(資料圖片)
武漢2019新型冠狀病毒疫情，截至2020年1月16日24時，武漢官方公佈的確診病例為45宗。翌日，倫敦帝國學院的世界衞生組織傳染病模型合作中心，於大學網頁公佈，尼爾．弗格森（Neil Ferguson）教授團隊用統計學模型推算出，截至2020年1月12日，約有1,723宗病例發病，95個百分比信賴區間（Confidence interval）為427至4,471宗病例。也即是說，實際疫情可能是已公佈確診病例的10倍至100倍。倫敦帝國學院的推算一出，華文媒體立刻熱議。讀者或會問，弗格森教授團隊沒有到現場蒐集數據，他們如何估算病例數目的呢？
早前有網民指新型冠狀病毒「只出國不出省，是個愛國病毒」，質問如果日本、泰國都有病例，為甚麼中國就只有武漢有病例？中國大陸交通四通八達，為甚麼湖北省其他地方，或者京津滬杭等大城市都沒有病例呢？很多人覺得這個現象很不尋常。
退一萬步說，假如武漢公佈的數據是不準確的，單憑我們所確知在大陸境外的病例數目，又可以怎樣推算武漢疫情的病例總數呢？弗格森教授團隊就作出了示範，由簡單的數據及假設開始，通過統計學方法推算，一步步將上述網民的質疑，以定量的方法表達出來。
讓筆者先舉個擲硬幣的例子。你擲硬幣N次，但你不告訴我，你一共擲了多少次。你只告訴我，你擲了N次才有3次是正面（X=3）。假設你的硬幣是公正的（fair coin），你擲硬幣擲中正面的概率p是0.5。現在你請我推算，你前後擲硬幣擲了多少次，才擲中3次正面。
我雖然不知道你擲硬幣擲了多少次，但由於每次擲硬幣擲中正面的概率是0.5，又知道你是第3次擲中正面才停下來，平均來說，你應該擲了6次。也即是說，擲硬幣總次數N的期望值E（N）= X／p = 3／0. 5 = 6。
用統計學的說法，擲硬幣的總次數N，與擲中正面的次數X和每次擲硬幣擲中正面的概率p的關係，就是一個負二項分佈（negative binomial distribution）：N~NB（X,p）。而N在這個分佈的平均數值，就是X／p。（可參考這個連結，注意裏面的X就是這裏的N， r是這裏的X。）
那麼，擲硬幣與疫情有甚麼關係？讓我們做一個類比。假設每一次擲硬幣，就相當於一個武漢新型冠狀病毒病例，但我們不知道病例總數N。假設每個武漢病例在被確診隔離前，都有可能出境旅遊。他們出境旅遊的概率p，類似於每次擲硬幣擲中正面的概率，但數值小得多。而在境外被確診的病例數目，就相當於擲幣擲中正面的次數。現在，境外有3個被確診的病例，X=3。這些數據我們確知是真確的。因此，只要我們能推算出，每個病例在被確診隔離前出境旅遊的概率p，就可以推算出武漢疫情的病例總數N，負二項分佈的平均值，就是X／p。
怎樣推算每個武漢病例在被確診隔離前出境旅遊的概率？弗格森教授團隊假設1個武漢人每日出境外遊的概率，就是武漢國際機場國際線每日離境航班的3,301人次（包含直航及轉機客），除以大武漢地區的人口（1900萬）： 3,301／19,000,000。這是每人每日出境的概率。
由於新型冠狀病毒潛伏期為5至6日，而按最近疫情的數據，由病發至被確診隔離約4至5日，因此假設一個病人由被感染至被確診隔離的平均日數為10日，也即假設一個病人有10日時間出境。他們出境旅遊的概率p，就等於每人每日出境概率的10倍。也就是p=10×3,301／19,000,000。最後，弗格森教授團隊假設一個武漢病例出境外遊後，是一定會在海外被確診的。
正如我們憑着擲硬幣擲中正面的次數X，以及每次擲硬幣擲中正面的概率p，可以求擲硬幣的總次數N，弗格森教授團隊就是憑着同樣的邏輯，通過在境外被確診的病例數目X，每個武漢病例在被確診隔離前出境旅遊的概率p，推算出武漢疫情的病例總數N，負二項分佈的平均值，就是X／p，約1,700多人。
弗格森教授團隊的推算，其背後的假設固然有可討論之處，其推算準確與否，也只有事過境遷之後才可判斷。但對於台灣、香港，以及世界各地的公共衞生機構而言，弗格森教授團隊推算的意義，卻是非常清楚：武漢疫情應該比已公佈的更嚴重，很有可能會有更多病例陸續被確診。弗格森教授團隊「建議疫情監測擴展至武漢地區及中國各地交通樞紐（Wuhan area and other well-connected Chinese cities），當地所有肺炎或嚴重呼吸疾病之住院病例。」
言猶在耳，武漢市在1月19日凌晨公佈，當地1月17日再新增17宗病例。可見海外科學家雖然無法在武漢蒐集數據，但憑着合乎常識的假設，運用統計學方法，是可以從另一個途徑檢視中國大陸官方公佈的數據是否合理，進而善意提醒中國當局，認真透明處理疫情，是《國際衞生條例》對每一個世界衞生組織成員國的要求，更是負責任之大國所當為也。
最後補充一點。弗格森教授團隊所引用的武漢航班數據，源自另一篇發表於今年1月14日的論文。該文作者波戈奇（Isaac Bogoch）醫生團隊，引用2018年1月至3月國際航空運輸協會數據指出，武漢國際機場境外航線離境人次（包含直航及轉機客），首四位目的地分別是：曼谷（41,080）、香港（23,707）、東京（20,001）和台北（17,645）。如今，泰國與日本分別有確診病例，之後哪裏的風險最高，呼之欲出。
中國大陸減少赴台遊客數目，客觀上減少了台灣遇到新型冠狀病毒確診病例的風險，可謂禍兮福所依是也。
（台灣《蘋果日報》蘋論陣線供稿）
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認真透明處理疫情，是《國際衞生條例》對每一個世界衞生組織成員國的要求，更是負責任之大國所當為也。
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武漢2019新型冠狀病毒疫情，截至2020年1月16日24時，武漢官方公佈的確診病例為45宗。翌日，倫敦帝國學院的世界衞生組織傳染病模型合作中心，於大學網頁公佈，尼爾．弗格森（Neil Ferguson）教授團隊用統計學模型推算出，截至2020年1月12日，約有1,723宗病例發病，95個百分比信賴區間（Confidence interval）為427至4,471宗病例。也即是說，實際疫情可能是已公佈確診病例的10倍至100倍。倫敦帝國學院的推算一出，華文媒體立刻熱議。讀者或會問，弗格森教授團隊沒有到現場蒐集數據，他們如何估算病例數目的呢？
早前有網民指新型冠狀病毒「只出國不出省，是個愛國病毒」，質問如果日本、泰國都有病例，為甚麼中國就只有武漢有病例？中國大陸交通四通八達，為甚麼湖北省其他地方，或者京津滬杭等大城市都沒有病例呢？很多人覺得這個現象很不尋常。
退一萬步說，假如武漢公佈的數據是不準確的，單憑我們所確知在大陸境外的病例數目，又可以怎樣推算武漢疫情的病例總數呢？弗格森教授團隊就作出了示範，由簡單的數據及假設開始，通過統計學方法推算，一步步將上述網民的質疑，以定量的方法表達出來。
讓筆者先舉個擲硬幣的例子。你擲硬幣N次，但你不告訴我，你一共擲了多少次。你只告訴我，你擲了N次才有3次是正面（X=3）。假設你的硬幣是公正的（fair coin），你擲硬幣擲中正面的概率p是0.5。現在你請我推算，你前後擲硬幣擲了多少次，才擲中3次正面。
我雖然不知道你擲硬幣擲了多少次，但由於每次擲硬幣擲中正面的概率是0.5，又知道你是第3次擲中正面才停下來，平均來說，你應該擲了6次。也即是說，擲硬幣總次數N的期望值E（N）= X／p = 3／0. 5 = 6。
用統計學的說法，擲硬幣的總次數N，與擲中正面的次數X和每次擲硬幣擲中正面的概率p的關係，就是一個負二項分佈（negative binomial distribution）：N~NB（X,p）。而N在這個分佈的平均數值，就是X／p。（可參考這個連結，注意裏面的X就是這裏的N， r是這裏的X。）
那麼，擲硬幣與疫情有甚麼關係？讓我們做一個類比。假設每一次擲硬幣，就相當於一個武漢新型冠狀病毒病例，但我們不知道病例總數N。假設每個武漢病例在被確診隔離前，都有可能出境旅遊。他們出境旅遊的概率p，類似於每次擲硬幣擲中正面的概率，但數值小得多。而在境外被確診的病例數目，就相當於擲幣擲中正面的次數。現在，境外有3個被確診的病例，X=3。這些數據我們確知是真確的。因此，只要我們能推算出，每個病例在被確診隔離前出境旅遊的概率p，就可以推算出武漢疫情的病例總數N，負二項分佈的平均值，就是X／p。
怎樣推算每個武漢病例在被確診隔離前出境旅遊的概率？弗格森教授團隊假設1個武漢人每日出境外遊的概率，就是武漢國際機場國際線每日離境航班的3,301人次（包含直航及轉機客），除以大武漢地區的人口（1900萬）： 3,301／19,000,000。這是每人每日出境的概率。
由於新型冠狀病毒潛伏期為5至6日，而按最近疫情的數據，由病發至被確診隔離約4至5日，因此假設一個病人由被感染至被確診隔離的平均日數為10日，也即假設一個病人有10日時間出境。他們出境旅遊的概率p，就等於每人每日出境概率的10倍。也就是p=10×3,301／19,000,000。最後，弗格森教授團隊假設一個武漢病例出境外遊後，是一定會在海外被確診的。
正如我們憑着擲硬幣擲中正面的次數X，以及每次擲硬幣擲中正面的概率p，可以求擲硬幣的總次數N，弗格森教授團隊就是憑着同樣的邏輯，通過在境外被確診的病例數目X，每個武漢病例在被確診隔離前出境旅遊的概率p，推算出武漢疫情的病例總數N，負二項分佈的平均值，就是X／p，約1,700多人。
弗格森教授團隊的推算，其背後的假設固然有可討論之處，其推算準確與否，也只有事過境遷之後才可判斷。但對於台灣、香港，以及世界各地的公共衞生機構而言，弗格森教授團隊推算的意義，卻是非常清楚：武漢疫情應該比已公佈的更嚴重，很有可能會有更多病例陸續被確診。弗格森教授團隊「建議疫情監測擴展至武漢地區及中國各地交通樞紐（Wuhan area and other well-connected Chinese cities），當地所有肺炎或嚴重呼吸疾病之住院病例。」
言猶在耳，武漢市在1月19日凌晨公佈，當地1月17日再新增17宗病例。可見海外科學家雖然無法在武漢蒐集數據，但憑着合乎常識的假設，運用統計學方法，是可以從另一個途徑檢視中國大陸官方公佈的數據是否合理，進而善意提醒中國當局，認真透明處理疫情，是《國際衞生條例》對每一個世界衞生組織成員國的要求，更是負責任之大國所當為也。
最後補充一點。弗格森教授團隊所引用的武漢航班數據，源自另一篇發表於今年1月14日的論文。該文作者波戈奇（Isaac Bogoch）醫生團隊，引用2018年1月至3月國際航空運輸協會數據指出，武漢國際機場境外航線離境人次（包含直航及轉機客），首四位目的地分別是：曼谷（41,080）、香港（23,707）、東京（20,001）和台北（17,645）。如今，泰國與日本分別有確診病例，之後哪裏的風險最高，呼之欲出。
中國大陸減少赴台遊客數目，客觀上減少了台灣遇到新型冠狀病毒確診病例的風險，可謂禍兮福所依是也。
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